2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

 时间:2013-09-09  贡献者:plutolicj

导读:2013年高考数学全国新课标ii卷理科数学真题及答案(word版),2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

2013年高考数学全国新课标ii卷理科数学真题及答案(word版)
2013年高考数学全国新课标ii卷理科数学真题及答案(word版)

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013 课标全国Ⅱ,理 1)已知集合 M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N=( ).A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.(2013 课标全国Ⅱ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ).A.-1+iB.-1-IC.1+iD.1-i3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ).1 A. 31 B. 31 C. 91 D. 94.(2013 课标全国Ⅱ,理 4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l α,l β,则( ).A.α∥β 且 l∥αB.α⊥β 且 l⊥βC.α 与 β 相交,且交线垂直于 lD.α 与 β 相交,且交线平行于 l5.(2013 课标全国Ⅱ,理 5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( ).A.-4B.-3C.-2D.-16.(2013 课标全国Ⅱ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=( ).1+ 1  1 L  1A. 2 3101+ 1  1 L  1B. 2! 3!10!1+ 1  1 L  1C. 2 3111+ 1  1 L  1D. 2! 3!11!7.(2013 课标全国Ⅱ,理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ).8.(2013 课标全国Ⅱ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ).2013 全国新课标卷 2 理科数学 第1页

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>cx  1,9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件 xy3,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 y  a x  3.a=( ).11A. 4B. 2C.1D.210.(2013 课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.  x0∈R,f(x0)=0B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=011.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ).A.y2=4x 或 y2=8xB.y2=2x 或 y2=8xC.y2=4x 或 y2=16xD.y2=2x 或 y2=16x12.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ).A.(0,1) B. 12 2,1 2  C. 12 2,1 3 D. 1 3,1 2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。

第 22 题~第24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.uuur uuur13.(2013 课标全国Ⅱ,理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE  BD =__________.14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 1 ,则 n=__________. 1415.(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若tanπ 4 1 2,则sinθ+cosθ=__________.16.(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a =bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第2页

18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的 中点,AA1=AC=CB= 2 AB .2 (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.19.(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概率等于需 求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第3页

20.(2013课标全国Ⅱ,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2 a2y2 b2=1 (a>b>0)右焦点的直线 x  y  3  0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1 . 2(1)求 M 的方程;(2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.21.(2013 课标全国Ⅱ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第4页

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013 课标全国Ⅱ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC·AE =DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:  x y 2cos t, 2sin t(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点.(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第5页

24.(2013 课标全国Ⅱ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤ 1 ; 3(2) a2  b2  c2  1. bca2013 全国新课标卷 2 理科数学 第6页

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.1. 答案:A 解析:解不等式(x-1)2<4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N= {0,1,2},故选 A. 2. 答案:A解析: z= 2i  2i1 i = 2  2i =-1+i. 1 i 1 i1 i 23. 答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题 意,因此 q≠1.∵q≠1 时,S3= a1(1 q3 ) =a1·q+10a1, 1 q∴ 1  q3 =q+10,整理得 q2=9. 1 q∵a5=a1·q4=9,即 81a1=9,∴a1= 1 . 94. 答案:D解析:因为 m⊥α,l⊥m,l α,所以 l∥α.同理可得 l∥β. 又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D. 5. 答案:D解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 C5r xr (0≤r≤5,r∈Z),则含 x2 的项为 C52 x2 +ax· C15 x =(10 +5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.6.答案:B解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1;当 k=2 时,T  1 , S =1+ 1 ;22当 k=3 时,T  1 , S  1+ 1  1 ;232 23当 k=4 时,T  1 , S  1+ 1  1  1 ;…;2 3 42 23 234当 k=10 时,T 1, S  1+ 1  1 L  1 ,k 增加 1 变为 11,满足 k>N,输出 S,23 4L 102! 3! 10!所以 B 正确.7.答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:2013 全国新课标卷 2 理科数学 第7页

则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 8. 答案:D,故选 A.解析:根据公式变形, a  lg 6  1 lg 2 , b  lg10  1 lg 2 , c  lg14  1 lg 2 ,因为 lg 7>lg 5lg 3 lg 3lg 5 lg 5lg 7 lg 7>lg 3,所以 lg 2  lg 2  lg 2 ,即 c<b<a.故选 D. lg 7 lg 5 lg 39. 答案:B解析:由题意作出  x x 1, y3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x=1 的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线 y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a  1 ,所以 a  1 .2210.答案:C解析:∵x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在 (-∞,x0)上不单调,故 C 不正确.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第8页

11.答案:C解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ p =5,则 x0=5- p .22又点F的坐标为 p 2,0 ,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0) xp 2 +(y-y0)y=0.将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 y02 -4y0+8=0,所以 y0=4. 2由y02=2px0,得162p 5p 2 ,解之得p=2,或p=8.所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C.12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。

第 22 题~第24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.答案:2 解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点 A 的坐标为(0,0),u点uur B 的坐标为(u2uu,r0),点 D 的坐标为 (u0u,ur2)u,uur点 E 的坐标为(1,2),则 AE =(1,2), BD =(-2,2),所以 AE  BD  2 .14.答案:8解析:从1,2,…,n中任取两个不同的数共有C2 n种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2 种,所以 2C2 n 1 ,即 142 nn 14 nn 11 14,解得 n=8.215.答案:  10 5解析:由 tan π 4 1 1tan  tan 1 ,得 tan 2θ=  1 ,即 sin 3θ=  1 cos 3θ.将其代入 sin2θ+cos2θ=1,得 10 cos2  1 . 9因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ=  3 10 ,sin θ= 10 ,sin θ+cos θ=  10 .1010516.答案:-49解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10=10a1+102 9 d =10a1+45d=0,①S15=15a115 14 2d=15a1+105d=25.②联立①②,得 a1=-3, d  2 , 3所以 Sn= 3n  n(n 1)  2  1 n2  10 n . 2 33 32013 全国新课标卷 2 理科数学 第9页

令 f(n)=nSn,则 f (n)  1 n3  10 n2 , f '(n)  n2  20 n .333令 f′(n)=0,得 n=0 或 n  20 . 3当 n  20 时,f′(n)>0, 0

即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 6 . 319. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以 T800X  39000,100  X 65000,130  X  150. 130,(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150.由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.(3)依题意可得 T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000P0.10.20.30.4所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12 a2y12 b2=1,x22 a2y22 b2=1,y2 x2 y1 x1= 1,由此可得b2  x2 a2  y2 x1  y1 y2 x2 y1 x1=1.因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, y0  1 , x0 2所以 a2=2b2.又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3.所以 M 的方程为 x2  y2 =1 . 63x  y  3  0,(2)由 x2 6y2 3 1,解得 x4 3, 3或 x0, y3, 3 y  3.因此|AB|= 4 6 . 3由题意可设直线 CD 的方程为y=x n  53 3n 3  ,设 C(x3,y3),D(x4,y4). y  x  n,由 x2y2得 3x2+4nx+2n2-6=0. 6  3  12013 全国新课标卷 2 理科数学 第11页

于是 x3,4= 2n  29  n2  . 3因为直线 CD 的斜率为 1,所以|CD|=2|x4x3|4 39  n2 .由已知,四边形 ACBD 的面积 S  1 | CD |  | AB | 8 6 9  n2 .29当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 8 6 . 3所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 . 321.解:(1)f′(x)= ex  1 . xm由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1.于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= ex  1 . x 1函数 f′(x)= ex  1 在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0. x 1因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0.当 m=2 时,函数 f′(x)= ex  1 在(-2,+∞)单调递增. x2又 f′(-1)<0,f′(0)>0,故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值.由 f′(x0)=0 得 ex0 = 1 ,ln(x0+2)=-x0, x0  2故 f(x)≥f(x0)= 1 +x0=  x0 12 >0.x0  2x0  2综上,当 m≤2 时,f(x)>0.请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知 BC  DC , FA EA故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2 =DB·BA=2DB2,所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第12页

而 DC2=DB·DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1 . 223. 解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为x y cos sin  cos 2 sin 2,(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离d  x2  y2  2  2cos (0<α<2π).当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.24. 解:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ 1 . 3(2)因为 a2  b  2a , b2  c  2b , c2  a  2c ,bca故 a2  b2  c2  (a  b  c) ≥2(a+b+c), bca即 a2  b2  c2 ≥a+b+c. bca所以 a2  b2  c2 ≥1. bca2013 全国新课标卷 2 理科数学 第13页

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